Weighted Hamming Metric Structures

Abstract

본 논문에서는 가중 해밍 거리 공간에서의 완벽 부호에 대해 연구하였다. 부 호 이론에서의 많은 연구 결과들은 해밍 거리 공간상에서의 부호에 대한 내용이 대부분이다. 특히, 해밍 거리 공간에서 완벽 부호는 제한적으로 존재한다는 것이 알려져 있다. 참고문헌 [12]의 ”Class of Binary Generalized Goppa Codes Perfect in Weighted Hamming Metric”에서 저자들은 가중 해밍 거리 공간이라는 것을 도 입하여, 해밍 거리 공간에서는 완벽 부호가 아니었던 Generalized Goppa code가 perfect가 되게 하는 가중 해밍 거리 공간이 존재함을 보였다. 이 결과로부터 다음 의 문제를 생각하였다. 해밍 거리 공간에서 완벽 부호였던 해밍 부호와 완벽 부호가 아니었던 확장 해밍 부호가 완벽 부호가 되도록 하는 가중 해밍 공간이 존재할 것 인가? 그리고 고정된 가중 해밍 공간에서 해밍 공간에 대한 연구의 결과와 비슷한 결과를 이끌어 낼 수 있는가? 첫번째로 우리는 해밍 부호가 2-완벽 부호가 되도록 하는 가중 해밍 공간의 존재 성에 대한 충분조건을 제시하였다. 그리고 확장 해밍 부호가 2- 또는 3- 완벽 부호가 되는 필요충분조건을 제시하고 그 가중 구조를 분류하였다. 다음으로 우리는 특정 가중 해밍 공간에서 2-완벽 선형 부호를 설계하는 방법을 제시하고 부호의 성질 을 유도하였다. 마지막으로 그 부호들의 무게 분포를 나타내는 식을 Generalized MacWilliams identity를 이용하여 유도하였다.

We first show there exists a weighted Hamming metric such that the binary Hamming code $\mathcal{H}_m$ ({\it resp.} the extended binary Hamming code $\widetilde{\mathcal{H}}_m$) can be 2-perfect ({\it resp.} 2- or 3-perfect) when $\mathbb{F}_2^n$ is equipped with the weighted Hamming metric. In the next, for a particular weighted Hamming metric, we present the construction of linear $2$-perfect code and deduce the properties of 2-perfect code, which is not necessarily linear. We also give the generalized concept of 2-perfect code and the weight distribution of a 2-perfect code for the metric.