The L^p → L^q estimates for degenerate Radon transforms in C^2

Abstract

본 논문에서는 복소평면 위에서 퇴화적 라돈 변환의 $L^p-L^q$ 계측에 관하여 연구하였다. 이 논문의 주요결과로서, 기존에 있던 실수공간에서의 버금 등위 집합(sublevel set) 계측을 유한 중복도를 갖는 해석함수에 대하여 복소공간으로 확장하였다. 그리고 그 응용으로 복소평면 위에서 유한 차수 복소다항식을 위상함수로 $P$ 로 갖는 반 평행변환불변 라돈 변환 \bgn{equation*} Rf(z,\tau)=\int_\mathbb{C}f(\xi,\tau+P(z,\xi))\psi(z,\xi)dA_{\xi} \end{equation*} 에 대하여 끝점에서의 $L^p-L^q$ 계측을 증명하였다.

Let $P$ be a polynomial in $\mathbb{C}^2$ of bounded degree. We obtain some $L^p \rightarrow L^q$ estimates for the semi-translation invariant Radon-like transform defined by \begin{equation*} Rf(z,\tau)=\int_\mathbb{C}f(\xi,\tau+P(z,\xi))\psi(z,\xi)dA_{\xi}, \end{equation*} where $\psi$ is a cutoff function supported in a small neighborhood of the origin. Here, $dA_{\xi}=dxdy$ provided that $\xi=x+iy$, where $x,y\in\mathbb{R}$.