Generative Model and Method for Correlated Bursty Dynamics

Abstract

In various natural and social phenomena, temporal inhomogeneities have been observed. The events such as earthquakes, single neuron firings, solar flares, and human communications occur rapidly within short time periods and sparsely within long time periods. These phenomena is called bursts, primarily characterized in terms of scaling behaviors in the autocorrelation function with a decaying exponent $\gamma$, the interevent time distribution with a power-law exponent $\alpha$, and the burst size distributions. Here the interevent time is defined as a time interval between two consecutive events in the event sequence, and the burst size denotes the number of events in a bursty train detected for a given time window. In order to understand such temporal scaling behaviors implying a hierarchical temporal structure, we devise a hierarchical burst model by assuming that each observed event might be a consequence of the multi-level causal or decision-making process. By studying our model analytically and numerically, we confirm the scaling relation $\alpha+\gamma=2$, established for the uncorrelated interevent times, despite of the existence of correlations between interevent times. Such correlations between interevent times are supported by the stretched exponential burst size distributions, for which we provide an analytic argument. In addition, by imposing conditions for the ordering of events, we observe an additional feature of log-periodic behavior in the autocorrelation function. Our generative modeling approach for the hierarchical temporal structure can help us better understand the underlying mechanisms behind complex bursty dynamics showing temporal scaling behaviors. After the generative modeling approach, we consider the generative method for correlated bursty dynamics. The memory coefficient is a measure for detecting the first order correlations between two consecutive interevent times. The conditional method is for generating single event sequences with controllable interevent time distribution and memory coefficient independently. Before our method, there are two different generative method: an annealing method and Gillespie method. Comparing the existing methods, the conditional method has advantage that we can control the correlations between interevent times directly through tuning the memory coefficient. When the memory coefficient is given as a parameter, we can uniquely determine the joint probability distribution under the condition of the proper upper bound for the memory coefficient. After calculating the joint probability distribution function and consequently the conditional cumulative distribution function, the interevent times are drawn from the inverse of the conditional cumulative distribution function under the condition that the previous interevent time is given. By repeating calculation of the conditional cumulative distribution function, we can obtain the ordered set of the interevent times with desirable memory coefficient. Here, we suggest the conditional method for two typical distribution functions: an exponential and a power-law distribution. Our generative method for single event sequences can help us better understand the efficient methodology for producing the correlated bursts.

본 논문은 상관있는 폭발적인 동역학을 이해하기 위해 사건 간 시간 간격 분포가 상관관계를 갖는 생성적인 계층 모델을 구축하고, 주어진 기억계수와 사건 간 시간 간격 분포를 갖는 단일 사건 순서열을 생성하는 조건 방법론을 제시하였다. 전화 통화, 문자 메시지, 전자 메일 등 사람 사이의 커뮤니케이션 및 태양의 플레어, 지진, 그리고 단일 뉴런의 발화에 이르기까지 많은 자연 현상에서 버스트 현상이 발견되었다. 버스트는 사건이 폭발적으로 발생하는 시기와 사건이 거의 발생하지 않는 시기가 번갈아가며 나타나는 현상이다. 이로 인해 버스트 현상에서는 사건 간 시간 간격 분포가 멱함수를 따른다. 이때 중요한 것은 시간 간격 사이의 상관성인데, 특정 문턱값으로부터 얻어진 버스트 트레인 안의 사건의 개수의 분포인 버스트 크기 분포로 상관관계를 알 수 있다. 만약 버스트 분포가 지수함수에서 벗어난 꼴이라면 상관성이 있다고 볼 수 있다. 실제 사건들이 계층적인 구조를 갖고 있다는 여러 증거 하에 계층적인 모델을 구축하여 상관성이 있는 버스트 사건 순서열을 얻었다. 이때 사건 사이에는 프랙탈 구조를 가지며, 멱함수 시간 간격 분포와 자기상관함수를 얻었고 각각의 계수인 $\alpha$와 $\gamma$ 사이에 $\alpha+\gamma=2$라는 스케일링 관계가 성립함을 수치적으로 밝혔다. 버스트 분포는 늘어난 지수함수로서 멱함수와 다른 분포를 얻었는데, 이를 설명하기 위해 수학적인 계산을 수행하여 멱함수 수준의 두꺼운 꼬리가 나타나지 않는 이유를 두 경우의 확률 값을 비교하여 설명하였다. 앞서 언급한 스케일링 관계는 시간 간격 사이의 상관관계가 없을 때 이론적으로 성립하는데, 늘어난 지수함수의 버스트 분포를 갖는 사건 순서열에서도 마찬가지로 스케일링 관계가 성립함을 밝혔다. 또한 주어진 모델을 변형하여 많은 경우를 살펴보았다. 먼저 모델의 각 층위에서 사건의 사이의 교차가 있는 경우도 이를 허용하지 않는 경우와 같은 결과가 나옴을 보였다. 이때 계층 모델의 특성 상 자기상관함수가 로그 주기성을 가짐을 확인하였다. 매 단계마다 사건의 수가 두 배가 아닌 세 배와 네 배가 되는 경우, 방향성이 없는 경우, 마지막 층위의 사건 뿐 아니라 모든 층위의 사건을 고려하는 경우도 같은 결과를 얻으므로, 본 모델이 다양한 변형 방법에도 성립함을 보였다. 이 연구를 통해 시간적으로 스케일링 특성을 갖는 기작을 만드는 시간적인 구조의 이해에 기여를 할 수 있을 것이라 기대한다. 다음으로 상관있는 폭발성을 갖는 단일 사건 순서열을 만드는, 조건 방법론이라는 생성 방법론을 제시하였다. 기억계수는 연속된 두 시간 간격 사이의 피어슨 상관계수로서 시간적인 상관관계 측정에 널리 쓰이고 있다. 조건 방법론을 통해 기억계수가 주어질 때 원하는 사건 간 시간 간격 분포를 갖는 단일 사건 순서열을 만드는 방법을 제시하였다. 기억계수가 주어지면 결합확률분포가 유일하게 결정되는데, 이때 기억계수의 값은 작아야 한다. 조건부 누적확률의 역함수 값을 통해 순차적으로 특정한 시간 간격 분포를 갖는 시간 간격들을 얻을 수 있고, 이를 통해 주어진 기억계수를 갖는 단일 사건 순서열을 구축할 수 있다. 여기에서는 두 가지 대표적인 분포인 지수함수와 멱함수에 대해서 조건 방법론을 제시하였다. 이 연구를 통해 기존의 방법론에 더해 상관있는 폭발성을 만드는 방법론 개발에 기여를 할 수 있다. 계층적인 생성 모형 제시 및 분석과 생성 방법론 제시를 통해 상관있는 폭발적인 동역학의 이해가 깊어질 것이라 기대한다.