On the analyticity of complex functions

Abstract

본 논문에서는 포렐리의 해석성 정리의 일반화를 연구하였다. 먼저 복소 유클리드 공간에서 주어진 영역의 부분을 채우는 복소해석적 다발의 개념을 소개하고, 단위 공 위에서 정의된 복소 함수가 원점에서 (1) 무한히 여러번 미분가능하고, (2) 표준 다발을 따라 복소해석적이면, 원점의 근방에서 복소해석적임을 보였다. 다음으로, 표준 다발을 일반적 다발의 개념으로 대체해도 같은 결과를 얻을 수 있음을 증명하였다. 이 결과는 김강태, 주재천, Schmalz의 연구 결과 및 고전적인 포렐리 정리의 일반화이다.

In this dissertation, we study generalizations of Forelli's analyticity theorem. Forelli's analyticity theorem says that any complex-valued function on the unit ball in a complex Euclidean space that is (1) smooth at the origin and (2) holomorphic along each complex line passing through the origin is holomorphic on the unit ball. Chirka proved that the set of complex lines in Forelli's theorem can be replaced by a family of transversal holomorphic curves passing through the origin that foliates the unit ball in $\mathbb{C}^2$. This work has been generalized further to higher-dimensions by Joo-Kim-Schmalz et al.

First, we introduce the notion of holomorphic pencils, a family of holomorphic curves that foliates a part of the given domain in $\mathbb{C}^n$. Then we show that any complex-valued function defined on the unit ball that is (1) smooth at the origin and (2) holomorphic along a standard (linear) pencil is holomorphic on a neighborhood of the origin. We also prove that standard pencils can be replaced by non-linear pencils of holomorphic discs at the origin. This generalizes the work of Joo-Kim-Schmalz as well as the classical Forelli's theorem.