이산 분수적분 연산자와 관련된 디오판토스 방정식

Abstract

지금까지 조화해석학의 주된 연구 대상은 유클리드 공간에서 정의된 함수들을 변환시키는 연산자들이었다. 그러나 최근 20년간, 유클리드 공간에서의 연산자 문제를 유한체(Finite Field)와 격자 공간에서의 문제로 바꾸어 생각하는 연구도 활발히 진행되어 왔다. 유한체와는 반대로, 유클리드 공간에서의 문제를 격자 공간에서의 문제로 바꾸면 원래 문제보다 더욱 어려워 지는 경향이 있다. 그 예로 유클리드 공간에서의 분수적분 연산자(Fractional Integral Operators)의 유계 성질은 잘 알려져 있지만, 이산 분수적분 연산자(Discrete Fractional Integral Operators)의 유계 성질은 아직 완전히 밝혀지지 않았으며, 이를 증명하기 위해서는 아직 증명되지 않은 정수론 적인 결과들이 필요하다는 것이 Stein, Wainger, Oberlin, Pierce 등에 의해 잘 알려져있다.본 논문에서는 Stein, Wainger, Oberlin, Pierce에 의해 연구되어온 이산 분수적분 연산자보다 더 일반적인 이산 분수적분 연산자를 정의한 다음, Oberlin의 방법을 확장시켜 그의 방법이 더 일반적인 연산자에 대해서도 적용될 수 있음을 보일 것이다. 즉 연산자에 관련된 연립 디오판토스 방정식의 근의 개수가 특정 성질을 만족하면 연산자가 특정 (p,q) 범위에 대해 (l^p, l^q) 유계라는 것을 증명할 것이다. 그 응용으로 3차원에서 포물면과 쌍곡포물면 위에서의 라돈형 이산 분수적분 연산자의 (l^p, l^q) 유계를 증명한다. 또 이런 일반화의 부산물로, s>k인 경우 임의의 epsilon>0 에 대해 r_{s,k}(N) = O(N^epsilon)라는 명제가 성립할 수 없다는 것을 보일 것이다. 여기서 r_{s,k}(N)은 자연수 N을 s개의 k차 제곱수(양수)의 합으로 나타낼 수 있는 가지수를 의미한다.