주기정상성과 복소이상성을 이용한 최적 시스템 설계

Abstract

In this thesis, the optimal system design is considered for transmission and reception of digitally modulated signals. Digitally modulated signals are well modeled by second-order cyclostationary (SOCS) random processes whose complex envelopes possess periodicity in all variables of the mean, the auto-covari-ance, and the complementary auto-covariance functions. The periodicity in these second-order statistics and the property of nonvanishing complementary auto-covariance function are called cyclostationarity and impropriety, respectively. The objective of this thesis is to propose the optimal and the asymptotically optimal system designs by efficiently exploiting the cyclostationarity and the impropriety of SOCS random processes. First, an invertible linear-conjugate linear (LCL) or a widely linear (WL) periodically time-varying operator named a continuous-time (CT) FREquency SHift (FRESH) properizer is proposed. It is shown that this operator converts a CT SOCS random process, whether it is proper or improper, can be always converted to an equivalent CT proper-complex SOCS random process with twice the cycle period. As an application, the presence detection of an improper-complex SOCS random process is considered. In particular, the optimal presence detector that utilizes the FRESH properizer is derived for improper-complex SOCS Gaussian random processes, which provides the lower bound on the detection error probabilities. Second, the block processing of a discrete-time (DT) SOCS random process is considered. An invertible LCL operator named the DT FRESH properizer is proposed by extending the CT FRESH properizer. Then, an invertible LCL block processing operator named the asymptotic FRESH properizer is proposed that mimics the operation of the DT FRESH properizer but processes a finite number of consecutive samples of a DT improper-complex SOCS random process. It is shown that the output of the asymptotic FRESH properizer is not proper but asymptotically proper and that its frequency-domain covariance matrix converges to a highly-structured block matrix with diagonal blocks as the block size tends to infinity. Two representative estimation and detection problems are presented to demonstrate that asymptotically optimal low-complexity post-processors can be easily designed by exploiting the asymptotic FRESH properizer. Lastly, the transmission of an improper-complex second-order stationary data sequence is considered over a strictly band-limited frequency-selective channel. It is assumed that the transmitter employs linear modulation and that the channel output is corrupted by additive proper-complex cyclostationary noise. Under the average transmit power constraint, the problem of minimizing the mean-squared error at the output of an LCL receiver is formulated in the time domain to find the optimal transmit and receive waveforms. This optimization problem is converted into a frequency-domain problem by using the vectorized Fourier transform technique and put into the form of a double minimization. After the LCL receiver is optimized, the optimal transmit waveform for the linear modulator is derived by introducing the notion of the impropriety frequency function and by performing a line search combined with an iterative algorithm.

디지털 변조 신호들은 평균 함수, 자기분산 함수, 상보적 자기분산 함수가 같은 주기로 주기함수들인 이차주기정상적(second-order cyclostationary: SOCS) 랜덤 프로세스로 잘 모델된다. 일차와 이차 통계적 함수들에서 나타나는 주기성과 상보적 자기분산 함수가 0이 되지 않는 특성은 각각 주기정상성(cyclostationarity)과 복소이상성(impropriety)이라고 불린다. 이러한 통계적 특성은 다양한 최적 기준으로 신호 존재 검출기, 신호 추정기, 최적 송수신기와 같은 많은 통신 및 신호처리 시스템 설계에 이용될 수 있다. 본 논문에서는 SOCS 랜덤 프로세스의 주기정상성과 복소이상성을 효율적으로 이용하는 최적 그리고 근사 최적 시스템 설계 방법을 제안한다. 먼저, 연속시간(continuous-time: CT) 주파수 편이(frequency-shift: FRESH) 복소정상화기(properizer)라고 명명된 역연산이 가능한 선형-켤레선형 (linear- conjugate linear: LCL) 또는 광의선형(widely-linear: WL) 주기 시변화 연산기를 제안한다. 이렇게 제안된 연산기는 복소정상적(proper-complex) 또는 복소이상적 (improper-complex) SOCS 랜덤 프로세스를 동일하면서 입력 신호 주기의 2배를 주기로 갖는 되는 복소정상적 SOCS 랜덤 프로세스로 변환하는 것을 보인다. 이 연산기의 응용으로서, 복소이상적 SOCS 랜덤 프로세스의 신호 존재 검출 문제가 고려된다. 특히, FRESH properizer를 활용하는 최적의 신호 존재 검출기가 유도되며, 이는 신호 검출 오류확률의 하한을 제시한다. 다음으로 이산시간(discrete-time: DT) SOCS 랜덤 프로세스의 블록 신호처리가 고려된다. CT FRESH properizer를 확장하여 역연산이 가능한 LCL 연산기를 제안하며, 이 연산기는 LCL DT FRESH properizer로 명명되었다. 또한 DT FRESH properizer를 따라하면서도 DT 복소이상적 SOCS 랜덤 프로세스에서 유한개의 연속적인 샘플들을 처리하기 위한 LCL 블록 프로세싱 연산기를 제안하며, 이 연산기는 근사 FRESH properizer라고 명명되었다. 근사 FRESH properizer의 출력은 정확하게는 복소이상적이지만, 근사적으로는 복소정상적이 되며, 샘플 수가 커질 때 대각 행렬을 블록으로 갖는 블록 행렬로 수렴하는 주파수 영역 분산 행렬을 갖는다. 근사 FRESH properizer를 이용하여 근사최적이고 낮은 복잡도를 갖는 신호 처리기가 쉽게 설계될수 있다는 것을 보이기 위해 대표적인 신호 추정 문제와 신호 존재 검출 문제가 제시된다. 마지막으로, 주파수 선택적 채널을 통한 복소이상적이고 이차정상적(second-order stationary: SOS)인 데이터 수열의 전송이 고려된다. 이 문제에서는 선형 변조를 이용하는 송신기와 복소정상적이고 주기정상적인 잡음이 더해지는 채널을 가정한다. 평균 송신 파워 제한하에서 최적의 송수신 파형들을 구하기 위해 LCL 평균제곱오차(mean-squared error) 최소화 문제가 시간 영역에서 먼저 수식화 된다. 이 최적화 문제는 벡터화된 푸리에 변환 기법을 이용하여 주파수 영역 문제로 변환되고, 이중 최소화 문제 형식으로 놓인다. LCL 수신기가 최적화된 이후에, 복소이상성 주파수 함수를 도입하고 반복 알고리즘이 결합된 선형 검색을 수행하여 최적 송신 파형이 구해진다.