Supersymmetric Duality and Superconformal Index in 3d

Abstract

In this thesis, I study 3d N = 2 supersymmetric gauge theories and dualities using superconformal indices. Firstly, I work out Seiberg-like duality for 3d N = 2 Chern-Simons mat- ter theories with fundamental matters of classical gauge groups, which is pro- posed by Giveon and Kutasov. I give strong evidence to the duality by work- ing out the superconformal indices for the dual theories. I show that all BPS operators of the dual pairs perfectly match. Secondly, I propose new dualities for 3d N = 2 U(N), USp(N), O(N) gauge theories with matter in the two-index tensor representation in addition to the fundamental/anti-fundamental representation. One peculiar feature of the general theories is that the chiral ring generators are different between the dual pair on the classical level but the same in the IR. It is known as the non- perturbative truncation of the chiral ring and I explicitly check the truncation by monopole operators using the superconformal index. I propose several infi- nite series of dualities that a nontrivially looking non-abelian Chern-Simons- matter theory is dual to a theory of free chiral multiplets. The theories with- out the Chern-Simons interaction has multiple monopole operators dressed by the adjoint field so the dual theory include corresponding singlet fields with proper form of superpotential. Lastly, I compute the Hilbert series for 3d N = 2 U(N) gauge theory with matters in the fundamental and antifundamental representations. I analyze the exact algebraic structure of vacuum moduli space from the Hilbert series. I clarify the relation of the Hilbert series and the superconformal index, which is complementary in the sense that the Hilbert series of the theories cannot be obtained by any limit of the superconformal index.

본 논문의 주요 목적은 양자장론의 강한 상호작용 영역을 이해하는 것이다. 약한 상호작용이 있을 때는 섭동적인 방법을 통해서 분배함수를 계산할 수 있어 서 물리 현상을 기술할 수 있다. 하지만 강하게 상호작용 하는 에너지(길이) 영역 에서는 계산이 불가능하여 어떤 일이 일어나는지 알 수 없다. 하지만 초대칭성이 있는경우강한상호작용영역에대해서도얻어낼수있는정보들이있다. 특히 초대칭성이 있을 때 로컬라이제이션이라는 방법을 통해서 강한 상호작용 영역의 분배함수를 계산할 수 있어 최근 연구가 활발히 진행되고 있다. 본 논문에서는 시공간 3차원의 초대칭 게이지 이론들의 쌍대성과 초등각 인 덱스를 다룬다. 양자장론은 에너지에 따라 결합상수의 크기가 달라지고 포텐셜 이변하기도한다. 본논문에서다루는쌍대성은높은에너지에서서로다른두 이론이 낮은 에너지에서 서로 같은 이론이 되는 현상을 의미한다. 이러한 현상 의 매우 흥미로운 점은 한 이론에서 비섭동적인 물질인 단자극(인스턴톤, 솔리톤 등)이 다른 이론에서는 섭동적인 물질(스칼라장, 페르미온 등)에 대응한다는 것 이다. 이러한 쌍대성은 강하게 상호작용하는 영역에서 일어나는 것이라 분석하 기가 어렵다. 하지만 앞서 말했듯이 로컬라이제이션을 통해서 분배함수를 계산 하면이러한쌍대성의원리및특성을연구할수있다. 본논문에서주로다루는 분배함수는 초등각 인덱스이다. 초등각 인덱스는 이론의 고유 상태들을 세는 함 수인데 바닥 상태 뿐만 아니라 특정 초대칭성을 보존하는 상태(BPS 상태)들을 세는 함수이다. 본논문의첫번째주제는3차원N =2천-사이먼스-양-밀스이론에대해알 려져 있던 쌍대성에 관한 연구이다. 쌍대성 관계에 있는 이론들에 대해서 초등각 인덱스를 계산하여 완전히 일치함을 보인다. 따라서 이론들의 모든 BPS 상태들 이 완전히 대응되는 것을 보인다. 두 번째 주제는 텐서 물질이 있는 3차원 게이지 이론들과 쌍대성에 관한 연 구이다. 천-사이먼스 상호작용이 있는 경우와 없는 경우를 구분하여 다룬다. 본 논문에서는 이전에 알려져 있지 않았던 새로운 쌍대성 이론들을 제시한다. 특히 텐서 물질이 있는 쌍대 이론들의 특이한 점은 게이지 불변 오퍼레이터들이 높은 에너지에서(classically) 다르다는 점이다. 하지만 낮은 에너지 상태로 감으로써 비섭동적인 영향인 단자극에 의해서 같은 개수의 오퍼레이터들만 남게 된다. 본 논문에서 이러한 현상을 초등각 인덱스를 통해서 정확히 확인한다. 그리고 천-사 이먼서 상호작용이 없는 이론은 낮은 에너지에서 텐서 물질로 인해서 여러 개의 단자극이 생기게 되는데 이 모든 단자극들이 쌍대 이론에서는 게이지 불변 스칼 라장으로 나타나는 것을 보인다. 마지막으로 본 논문에서는 3차원 N =2 이론에 대해서 힐버트 급수를 계산 한다. 힐버트 급수는 바닥상태에 대응하는 오퍼레이터들을 세는 함수로 이를 통 해서 바닥상태의 대수적 구조를 정확히 기술할 수 있다. 그리고 초등각 인덱스로 부터 힐버트 급수를 얻을 수 없음을 보여서 두 함수가 상호보완적인 물리량임을 보인다.