Flux Linkage Modeling and Torque Calculation by Fourier Series and Taylor Series Expansion

Abstract

전기자동차 구동 모터는 높은 출력을 위해 대전류를 인가하지만 모터 코 어의 포화에 따른 심각한 비선형성이 관찰된다. 이러한 비선형성은 모터의 파라미터를 변화시킬 뿐만 아니라 토크제어 시 오차를 수반하게 된다. 모 터 코어가 포화가 되게 되면 d축과 q축 사이에 크로스 커플링 효과가 발생 하게 된다. 본 논문은 이러한 효과를 반영한 쇄교자속 모델링을 논하였다. 쇄교자속은 기본적으로 유한요소법을 이용하여 각 전류샘플에 따라 데이터 를 얻었다. 주어진 샘플을 통해 테일러 시리즈를 이용하여 쇄교자속 모델 링을 하였고, 이는 다항식 근사법으로 나타나게 된다. 또한, 각각의 다항식 의 계수들은 최소 자승법 (Least Square Method)을 통하여 수학적으로 계 산하였다. 쇄교자속 모델링을 통한 크로스 커플링이 고려된 모터 파라미터 는 토크 방정식에 확장되어 사용되어지고, 정확한 최대 토크점을 찾을 수 있게 된다. 또한 쇄교자속에는 모터의 고정자 슬롯에 의한 공간 고조파가 혼입이 되 는데 혼입된 공간고조파를 퓨리에 시리즈로 근사화 하였다. 각각의 퓨리에 계수는 테일러 시리즈를 이용하여 d상 및 q상 전류의 함수로서 표현하였다. 마지막으로 공간 고조파를 포함한 토크 방정식을 제시하고 시뮬레이션 결 과 및 계산 결과, 실험결과를 비교 분석하였다.

This thesis describes the flux linkage modeling of synchronous motors. In electric vehicle (EV) applications, the propulsion motor are required to have high power density and high torque density. During a high torque operation, severe nonlinearities associated with a saturation are observed: Emergence of cross coupling effects and variation of the rotor flux linkage. The core saturation effect should be taken into account to flux linkage modeling for heavy load operation. Motor parameters, inductances and rotor flux linkage are highly influenced by saturation effect. To reflect variations of motor parameters, firstly, a flux map over d- and q-axis currents is obtained via finite element analysis (FEA). Then, it is fitted by a high order polynomials via the Taylor series expansion. Secondly, the coefficients of the Taylor series are calculated over different current samples. The flux linkage samples obtained by FEA are interpolated by the Least square method. Then, an estimated flux linkages are reconstructed analytically using the resulting interpolation process. Analytic expressions of inductances can be obtained. This enables us to predict motor parameters instead of using pre-made lookup table. Moreover, the frozen permeability (FP) method is utilized to calculate the rotor flux linkage when the armature current is applied. Finally, the torque equation is expanded by incorporating the cross-coupling inductances, for which an extended maximum torque per ampere (MTPA) is developed by using Ferrari’s method to a quartic equation. The experimental results validate the proposed torque control. Moreover, the flux linkage modeling including space harmonics of interior permanent magnet synchronous motors (IPMSM) is also proposed in this thesis. Due to slotting effects and non-sinusoidal flux distribution, the space harmonics are considered in this modeling. The Fourier series expansion is employed to present the space harmonics, then the Fourier series coefficients are also expressed as functions of both id and iq via the Taylor series expansion. In this modeling, the cross coupling effect is included in conventional d and q-axis inductances. Analytic expression of torque is obtained by differentiating the estimation of flux linkages.